Углы AEB₁ и BEA₁ равны как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AEB₁ и BEA₁ по­доб­ны по двум углам, от­ку­да

Углы AEB и B₁EA₁ равны как вер­ти­каль­ные, из преды­ду­щей про­пор­ции сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки EB₁A₁ и AEB по­доб­ны, от­ку­да

См. также.

Ана­ло­гич­ное за­да­ние с ту­по­уголь­ным тре­уголь­ни­ком: 340854.

При­ме­ча­ние.

Уви­деть угол AA₁B₁ будет легче, если со­еди­нить точки A₁ и В₁.

При­ве­дем ре­ше­ние Миши Чу­при­ко­ва.

Опи­шем окруж­ность во­круг тре­уголь­ни­ка ABA₁. Угол AA₁B  — пря­мой, сле­до­ва­тель­но, он опи­ра­ет­ся на диа­метр, то есть от­ре­зок AB  — диа­метр окруж­но­сти. Угол AB₁B  — пря­мой, опи­ра­ет­ся на диа­метр, а по­то­му точка B₁ лежит на этой же окруж­но­сти. Таким об­ра­зом, углы AA₁B₁ и ABB₁ равны как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу.

По­сколь­ку угол ACB тупой, ос­но­ва­ния высот A₁ и B₁ будут ле­жать на про­дол­же­ни­ях сто­рон BC и AC со­от­вет­ствен­но. Диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка AA₁B₁B пе­ре­се­ка­ют­ся, по­это­му он вы­пук­лый. По­сколь­ку ∠AA₁B = ∠AB₁B = 90°, каж­дый из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков AA₁B и AB₁B впи­сан в окруж­ность с диа­мет­ром AB. Это озна­ча­ет, что все вер­ши­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка AA₁B₁B лежат на одной окруж­но­сти. Тогда углы ∠AB₁A₁ и ∠ABA₁ равны как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу A₁A. Ана­ло­гич­но, ∠BA₁B₁ = ∠BAB₁. Зна­чит, ука­зан­ные тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам.

Ука­жем общую тео­ре­му.

Ос­но­ва­ния двух высот тре­уголь­ни­ка (ост­ро­уголь­но­го или ту­по­уголь­но­го) и одна из его вер­шин об­ра­зу­ют тре­уголь­ник, по­доб­ный ис­ход­но­му; ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен мо­ду­лю ко­си­ну­са их об­ще­го угла.

См. также.

Ана­ло­гич­ное за­да­ние с ост­ро­уголь­ным тре­уголь­ни­ком: 340341.

При­ве­дем ре­ше­ние Ро­ма­на Ре­ше­ти­ло­ва.

Тре­уголь­ни­ки ACA₁ и BCB₁ по­доб­ны по двум углам, по­сколь­ку ∠AA₁C = ∠BB₁C  =  90°, ∠ACA₁ = ∠BCB₁ равны как вер­ти­каль­ные. Сле­до­ва­тель­но,

Углы ACB и A₁CB₁ равны как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки A₁CB₁ и ACB по­доб­ны по от­но­ше­нию двух сто­рон, за­клю­ча­ю­щих рав­ные углы.

По­сколь­ку ABCD вы­пук­лый и ∠ABD = ∠ACD, по­лу­ча­ем, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность. А тогда ∠DAC = ∠DBC как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу CD.

Точка E рав­но­уда­ле­на от C и D , по­это­му она лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к от­рез­ку CD. То же можно ска­зать и о F. Зна­чит, EF  — се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к CD, то есть CD ⊥ EF.

По­сколь­ку угол ABC тупой, ос­но­ва­ния высот будут ле­жать на про­дол­же­ни­ях сто­рон. Так как диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка AA₁C₁C пе­ре­се­ка­ют­ся, он вы­пук­лый, а по­сколь­ку около него можно опи­сать окруж­ность. Тогда как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу AA₁, а как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу CC₁. Зна­чит, ука­зан­ные тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам.