Проведём через точку E прямые, параллельные сторонам параллелограмма, пересекающие его стороны AB, BC , CD и AD в точках K , L, M и N соответственно. Эти прямые делят параллелограмм ABCD на четыре параллелограмма. Поскольку диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, получаем

Приведем решение Юрия Лысакова.

Проведем через точку E прямую, перпендикулярную прямой AD, тогда эта прямая будет перпендикулярна также прямой BC. Пусть она пересекает прямую AD в точке F, а прямую BC в точке G. Тогда FG — высота параллелограмма.

Найдем удвоенную площадь треугольников BEC и AED:

что и требовалось доказать.

Поскольку четырёхугольник ABCD вписанный, сумма углов BAD и BCD равна 180°.

Следовательно,

Получаем, что в треугольниках MBC и MDA углы MCB и MAD равны, угол M общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Углы CBD и BDA равны, как накрест лежащие при параллельных прямых. В треугольниках CBD и следовательно, эти треугольники подобны по двум парам пропорциональных сторон и углу между ними.

Примечание.

Заметим, что при указания подобия или равенства треугольников не требуется записывать обозначения их вершин таким образом, чтобы вершины, соответствующие равным углам, располагались на одинаковых местах; вершины треугольника могут быть записаны в любом порядке.

В задаче возможны два случая.

Первый случай, AD — одно из оснований. Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке. Рассмотрим треугольники OBH и BOK Рассмотрим треугольники OBH и OBK, они прямоугольные, углы HBO и KBO равны, OB — общая, следовательно, треугольники равны. Откуда OH = OK. Аналогично из треугольников KOC и COL получаем, что OK = OL. Таким образом, OH = OK = OL.

Второй случай, AD — одна из боковых сторон. Несмотря на другую геометрическую конфигурацию, доказательство полностью повторяет доказательство для первого случая.

Приведем другое решение.

Точка О лежит на биссектрисе угла ABC, следовательно, она равноудалена от прямых AB и BC. Точка О лежит на биссектрисе угла , следовательно, она равноудалена от прямых BC и CD. Таким образом, точка О равноудалена от прямых AB, BC и CD.

Воспользуемся теоремой: если отрезок АВ виден из точек С и D, лежащих по одну сторону от прямой АВ, под одним и тем же углом, то точки А, В, С, D лежат на одной окружности (см. рис.). А тогда ∠ABD = ∠ACD как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AD. Что и требовалось доказать.

Приведём другое решение.

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники BOC и AOD, углы BCA и BDA равны по условию, углы BOC и AOD равны как вертикальные, следовательно, треугольники BOC и AOD подобны. Откуда Равенство можно представить в виде Рассмотрим треугольники ABO и COD, углы AOB и COD равны как вертикальные и имеется равенство следовательно, треугольники подобны. Поэтому углы ABD и ACD равны.