Вычислим угол восьмиугольника по формуле Таким образом, угол восьмиугольника равен Если вершины последовательно соединить отрезками через одну, то образуются четыре равных равнобедренных треугольника, углы при основании которых равны Тогда угол между двумя отрезками, которые соединяют вершины, равен Поскольку все четыре равнобедренных треугольника равны, то и стороны получившегося четырёхугольника равны. Таким образом, если вершины восьмиугольника последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Приведем решение Даниила Карсакова.

Если вершины последовательно соединить отрезками через одну, то образуются четыре равных равнобедренных треугольника, следовательно, все стороны получившегося четырехугольника равны. Углы этого четырехугольника опираются на диаметры окружности, описанной вокруг правильного восьмиугольника, следовательно, эти углы прямые. Тогда получившийся четырехугольник — квадрат.

Рассмотрим маленькие треугольники и , следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу. Аналогично равны между собой и остальные маленькие треугольники. Следовательно,

Любой угол правильного шестиугольника равен Треугольники и  — равнобедренные, углы при основаниях равны Рассмотрим развёрнутый угол

Аналогично все остальные углы шестиугольника равны следовательно, шестиугольник  — правильный.

Рассмотрим треугольники следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, значит, то есть треугольник ACF — правильный.

Рассмотрим треугольники

следовательно эти треугольники равны, то есть следовательно, FHBD — ромб.

Любой угол правильного восьмиугольника равен Каждый их треугольников  — равнобдеренный, следовательно, углы при основании этих треугольников равны

Рассмотрим угол

Следовательно все углы, в ромбе FHBD — прямые, а значит, FHBD — квадрат.

Рассмотрим маленькие треугольники и , следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу. Аналогично равны между собой и остальные маленькие треугольники. Следовательно,

Любой угол правильного восьмиугольника равен Треугольники и  — равнобедренные, углы при основаниях равны Рассмотрим развёрнутый угол

Аналогично все остальные углы восьмиугольника равны следовательно, восьмиугольник  — правильный.