Вы­чис­лим угол вось­ми­уголь­ни­ка по фор­му­ле Таким об­ра­зом, угол вось­ми­уголь­ни­ка равен Если вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то об­ра­зу­ют­ся че­ты­ре рав­ных рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка, углы при ос­но­ва­нии ко­то­рых равны Тогда угол между двумя от­рез­ка­ми, ко­то­рые со­еди­ня­ют вер­ши­ны, равен По­сколь­ку все че­ты­ре рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка равны, то и сто­ро­ны по­лу­чив­ше­го­ся че­ты­рех­уголь­ни­ка равны. Таким об­ра­зом, если вер­ши­ны вось­ми­уголь­ни­ка по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся квад­рат.

При­ве­дем ре­ше­ние Да­ни­и­ла Кар­са­ко­ва.

Если вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то об­ра­зу­ют­ся че­ты­ре рав­ных рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка, сле­до­ва­тель­но, все сто­ро­ны по­лу­чив­ше­го­ся че­ты­рех­уголь­ни­ка равны. Углы этого че­ты­рех­уголь­ни­ка опи­ра­ют­ся на диа­мет­ры окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг пра­виль­но­го вось­ми­уголь­ни­ка, сле­до­ва­тель­но, эти углы пря­мые. Тогда по­лу­чив­ший­ся че­ты­рех­уголь­ник  — квад­рат.

Рас­смот­рим ма­лень­кие тре­уголь­ни­ки и сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны по двум сто­ро­нам и углу. Ана­ло­гич­но равны между собой и осталь­ные ма­лень­кие тре­уголь­ни­ки. Сле­до­ва­тель­но,

Любой угол пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равен Тре­уголь­ни­ки и   — рав­но­бед­рен­ные, углы при ос­но­ва­ни­ях равны Рас­смот­рим раз­вер­ну­тый угол

Ана­ло­гич­но все осталь­ные углы ше­сти­уголь­ни­ка равны сле­до­ва­тель­но, ше­сти­уголь­ник   — пра­виль­ный.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны по двум сто­ро­нам и углу между ними, зна­чит, то есть тре­уголь­ник ACF  — пра­виль­ный.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки

сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны, то есть сле­до­ва­тель­но, FHBD  — ромб.

Любой угол пра­виль­но­го вось­ми­уголь­ни­ка равен Каж­дый их тре­уголь­ни­ков   — рав­нобде­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, углы при ос­но­ва­нии этих тре­уголь­ни­ков равны

Рас­смот­рим угол

Сле­до­ва­тель­но все углы, в ромбе FHBD  — пря­мые, а зна­чит, FHBD  — квад­рат.

Рас­смот­рим ма­лень­кие тре­уголь­ни­ки и сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны по двум сто­ро­нам и углу. Ана­ло­гич­но равны между собой и осталь­ные ма­лень­кие тре­уголь­ни­ки. Сле­до­ва­тель­но,

Любой угол пра­виль­но­го вось­ми­уголь­ни­ка равен Тре­уголь­ни­ки и   — рав­но­бед­рен­ные, углы при ос­но­ва­ни­ях равны Рас­смот­рим раз­вер­ну­тый угол

Ана­ло­гич­но все осталь­ные углы вось­ми­уголь­ни­ка равны сле­до­ва­тель­но, вось­ми­уголь­ник   — пра­виль­ный.