PDF-версии: 
Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.
Решение.
Углы AEB1 и BEA1 равны как вертикальные, следовательно, прямоугольные треугольники AEB1 и BEA1 подобны по двум углам, откуда 
Углы AEB и B1EA1 равны как вертикальные, из предыдущей пропорции 
следовательно, треугольники EB1A1 и AEB подобны, откуда 
См. также.
Аналогичное задание с тупоугольным треугольником: 340854.
Примечание.
Увидеть угол AA1B1 будет легче, если соединить точки A1 и В1.
Приведем решение Миши Чуприкова.
Опишем окружность вокруг треугольника ABA1. Угол AA1B — прямой, следовательно, он опирается на диаметр, то есть отрезок AB — диаметр окружности. Угол AB1B — прямой, опирается на диаметр, а потому точка B1 лежит на этой же окружности. Таким образом, углы AA1B1 и ABB1 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ. | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка. | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
около него можно описать окружность. Тогда 
как вписанные углы, опирающиеся на дугу AA1, а 
как вписанные углы, опирающиеся на дугу CC1. Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.
около него можно описать окружность. Тогда углы AA1B1 и ABB1 равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу AB1.
и 
равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники 
и 
они прямоугольные, углы 
Рассмотрим треугольники 
и ABC углы 
и BAC равны как вертикальные, 
следовательно, эти треугольники подобны.
и 
Докажите, что углы 
и 
равны.
и 
имеют общую гипотенузу BC. Поэтому точки 
лежат на одной окружности. Углы 
и 
Докажите, что углы 
и 
равны.
имеют общую гипотенузу AB. Поэтому точки 
лежат на одной окружности. Углы