Ре­ше­ние.

Про­ве­дем через точку E пря­мые, па­рал­лель­ные сто­ро­нам па­рал­ле­ло­грам­ма, пе­ре­се­ка­ю­щие его сто­ро­ны AB, BC , CD и AD в точ­ках K , L, M и N со­от­вет­ствен­но. Эти пря­мые делят па­рал­ле­ло­грамм ABCD на че­ты­ре па­рал­ле­ло­грам­ма. По­сколь­ку диа­го­наль делит па­рал­ле­ло­грамм на два рав­ных тре­уголь­ни­ка, по­лу­ча­ем

При­ве­дем ре­ше­ние Юрия Лы­са­ко­ва.

Про­ве­дем через точку E пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную пря­мой AD, тогда эта пря­мая будет пер­пен­ди­ку­ляр­на также пря­мой BC. Пусть она пе­ре­се­ка­ет пря­мую AD в точке F, а пря­мую BC в точке G. Тогда FG  — вы­со­та па­рал­ле­ло­грам­ма.

Най­дем удво­ен­ную пло­щадь тре­уголь­ни­ков BEC и AED:

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан­ный, сумма углов BAD и BCD равна 180°.

Сле­до­ва­тель­но,

По­лу­ча­ем, что в тре­уголь­ни­ках MBC и MDA углы MCB и MAD равны, угол M общий, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

Ре­ше­ние.

Углы CBD и BDA равны как на­крест ле­жа­щие при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых AD и BC се­ку­щей BD. В тре­уголь­ни­ках CBD и ADB: сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум парам про­пор­ци­о­наль­ных сто­рон и углу между ними.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что при ука­за­ния по­до­бия или ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков не тре­бу­ет­ся за­пи­сы­вать обо­зна­че­ния их вер­шин таким об­ра­зом, чтобы вер­ши­ны, со­от­вет­ству­ю­щие рав­ным углам, рас­по­ла­га­лись на оди­на­ко­вых ме­стах; вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка могут быть за­пи­са­ны в любом по­ряд­ке.

Ре­ше­ние. В за­да­че воз­мож­ны два слу­чая.

Пер­вый слу­чай, AD  — одно из ос­но­ва­ний. Про­ве­дем по­стро­е­ния и вве­дем обо­зна­че­ния как ука­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки OBH и BOK Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки OBH и OBK, они пря­мо­уголь­ные, углы HBO и KBO равны, OB  — общая, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки равны. От­ку­да OH  =  OK. Ана­ло­гич­но из тре­уголь­ни­ков KOC и COL по­лу­ча­ем, что OK  =  OL. Таким об­ра­зом, OH  =  OK  =  OL.

Вто­рой слу­чай, AD  — одна из бо­ко­вых сто­рон. Не­смот­ря на дру­гую гео­мет­ри­че­скую кон­фи­гу­ра­цию, до­ка­за­тель­ство пол­но­стью по­вто­ря­ет до­ка­за­тель­ство для пер­во­го слу­чая.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Точка О лежит на бис­сек­три­се угла ABC, сле­до­ва­тель­но, она рав­но­уда­ле­на от пря­мых AB и BC. Точка О лежит на бис­сек­три­се угла BCD, сле­до­ва­тель­но, она рав­но­уда­ле­на от пря­мых BC и CD. Таким об­ра­зом, точка О рав­но­уда­ле­на от пря­мых AB, BC и CD.

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой: если от­ре­зок АВ виден из точек С и D, ле­жа­щих по одну сто­ро­ну от пря­мой АВ, под одним и тем же углом, то точки А, В, С, D лежат на одной окруж­но­сти (см. рис.). А тогда ∠ABD = ∠ACD как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу AD. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Про­ве­дем по­стро­е­ния и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки BOC и AOD, углы BCA и BDA равны по усло­вию, углы BOC и AOD равны как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки BOC и AOD по­доб­ны. От­ку­да Ра­вен­ство можно пред­ста­вить в виде Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABO и COD, углы AOB и COD равны как вер­ти­каль­ные и име­ет­ся ра­вен­ство сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны. По­это­му углы ABD и ACD равны.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вы­со­ты BH и CK, они равны. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABD равна Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CAD равна По­сколь­ку вы­со­ты BH и CK равны, равны и пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ABD и По­ка­жем, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков AOB и COD равны:

Ре­ше­ние. Про­ве­дем LF па­рал­лель­но CD (см. рис.). Тогда BL = LC = CD. Сле­до­ва­тель­но, па­рал­ле­ло­грамм CDFL яв­ля­ет­ся ром­бом. Диа­го­наль DL ромба CDFL яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла CDA.

При­ве­дем ре­ше­ние Нелли Хуш­мах­ма­до­вой.

В тре­уголь­ни­ке LCD LC=CD, сле­до­ва­тель­но, углы CLD и CDL равны. Углы CLD и LDA равны как на­крес­тле­жа­щие углы при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых се­ку­щей, сле­до­ва­тель­но, угол LDA равен углу CDL, тогда DL  — бис­сек­три­са угла CDA.

Ре­ше­ние. По свой­ству бис­сек­три­сы угла точка P рав­но­уда­ле­на от пря­мых AD и CD (так как лежит на бис­сек­три­се угла D ) и рав­но­уда­ле­на от пря­мых BC и CD (так как лежит на бис­сек­три­се угла C). Зна­чит, точка P рав­но­уда­ле­на от всех трех ука­зан­ных пря­мых.

Ре­ше­ние. Пусть ABCD  — тра­пе­ция, M и N  — се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний AD и BC со­от­вет­вен­но.

Пусть AM = MD = a и BN = NC = b, а h  — вы­со­та тра­пе­ции. Тогда пло­щадь каж­дой из ча­стей, на ко­то­рые от­ре­зок MN делит тра­пе­цию, равна то есть, эти части рав­но­ве­ли­ки.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть h  — длина вы­со­ты тра­пе­ции. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABM равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка MCD, по­сколь­ку вы­со­ты, про­ве­ден­ные к ос­но­ва­ни­ям AF и FD равны, а ос­но­ва­ния AM и MD равны. Ана­ло­гич­но равны пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков BNM и По­ка­жем, что пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ков ABNM и MNCD равны:

Ре­ше­ние.

Тре­уголь­ни­ки AOE и COF равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам: AO  =  CO, по­сколь­ку диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, как вер­ти­каль­ные, как на­крест ле­жа­щие углы при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых AB и CD се­ку­щей AC. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство их сход­ствен­ных сто­рон: AE  =  CF. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей яв­ля­ет­ся цен­тром сим­мет­рии па­рал­ле­ло­грам­ма (Ата­на­сян Л. С., Гео­мет­рия 7−9, п. 47). По­это­му тре­уголь­ни­ки OEA и OFC цен­траль­но сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но точки О и, сле­до­ва­тель­но, равны. По­это­му их сто­ро­ны ЕА и CF равны. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ре­ше­ние. Пусть точка O  — точка пре­се­че­ния диа­го­на­лей. Рас­смот­рим два тре­уголь­ни­ка KNO и LOM: и (как вер­ти­каль­ные), зна­чит, тре­уголь­ни­ки KNO и LOM по­доб­ны по двум углам. Тогда

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки KLO и NOM в ко­то­рых две сто­ро­ны про­пор­ци­о­наль­ны и (как вер­ти­каль­ные). Тогда тре­уголь­ни­ки KLO и NOM по­доб­ны по двум про­пор­ци­о­наль­ным сто­ро­нам и углу между ними.

Углы, про­ти­во­ле­жа­щие про­пор­ци­о­наль­ным сто­ро­нам равны, сле­до­ва­тель­но, Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.