Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Около лю­бо­го пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка можно опи­сать не более одной окруж­но­сти.»— верно, около лю­бо­го пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность, и при­том толь­ко одну.

2)  «Центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми, рав­ны­ми 3, 4, 5, на­хо­дит­ся на сто­ро­не этого тре­уголь­ни­ка.»  — верно, тре­уголь­ник с та­ки­ми сто­ро­на­ми яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным, таким об­ра­зом, центр окруж­но­сти лежит на ги­по­те­ну­зе.

3)  «Цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной около квад­ра­та, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей.»  — верно, диа­го­на­ли квад­ра­та точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, таким об­ра­зом, цен­тром окруж­но­сти яв­ля­ет­ся точка пре­се­че­ния диа­го­на­лей.

4)  «Около лю­бо­го ромба можно опи­сать окруж­ность.»  — не­вер­но, чтобы около че­ты­рех­уголь­ни­ка можно было опи­сать окруж­ность, не­об­хо­ди­мо, чтобы сумма про­ти­во­по­лож­ных углов че­ты­рех­уголь­ни­ка со­став­ля­ла 180°. Это верно не для лю­бо­го ромба.

Ответ: 123.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Окруж­ность имеет бес­ко­неч­но много цен­тров сим­мет­рии.»— не­вер­но, плос­кая фи­гу­ра об­ла­да­ет

цен­траль­ной сим­мет­ри­ей, если она сим­мет­рич­на сама себе от­но­си­тель­но цен­тра

2)  «Пря­мая не имеет осей сим­мет­рии.»  — не­вер­но, пря­мая имеет бес­ко­неч­ное число осей сим­мет­рии.

3)  «Пра­виль­ный пя­ти­уголь­ник имеет пять осей сим­мет­рии.»  — верно, каж­дая ось сим­мет­рии лю­бо­го пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка с не­чет­ным чис­лом сто­рон про­хо­дит через вер­ши­ну и се­ре­ди­ну про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны.

4)  «Квад­рат не имеет цен­тра сим­мет­рии.»  — не­вер­но, центр сим­мет­рии квад­ра­та яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник имеет шесть осей сим­мет­рии.»— верно, при чет­ном ко­ли­че­стве углов оси сим­мет­рии про­хо­дят через про­ти­во­по­лож­ные вер­ши­ны и через се­ре­ди­ны про­ти­во­по­лож­ных сто­рон.

2)  «Пря­мая не имеет осей сим­мет­рии.»  — не­вер­но, пря­мая имеет бес­ко­неч­ное число осей сим­мет­рии.

3)  «Цен­тром сим­мет­рии ромба яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей.»  — верно, ромб яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом, а се­ре­ди­на диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ет­ся его цен­тром сим­мет­рии.

4)  «Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник имеет три оси сим­мет­рии.»  — не­вер­но, у рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка одна ось сим­мет­рии.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Цен­тром сим­мет­рии пря­мо­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей.»  — верно, пря­мо­уголь­ник яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом, а се­ре­ди­на диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ет­ся его цен­тром сим­мет­рии.

2)  «Цен­тром сим­мет­рии ромба яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей.»  — верно, ромб яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом, а се­ре­ди­на диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ет­ся его цен­тром сим­мет­рии.

3)  «Пра­виль­ный пя­ти­уголь­ник имеет пять осей сим­мет­рии.»  — верно, при не­чет­ном ко­ли­че­стве углов каж­дая ось сим­мет­рии про­хо­ди через вер­ши­ну и се­ре­ди­ну про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны.

4)  «Цен­тром сим­мет­рии рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния ее диа­го­на­лей.»  — не­вер­но, у рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции нет точек сим­мет­рии.

Ответ: 123.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если катет и ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 6 и 10, то вто­рой катет этого тре­уголь­ни­ка равен 8.»— верно, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра квад­рат ги­по­те­ну­зы равен сумме квад­ра­тов ка­те­тов.

2)  «Любые два рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.»  — не­вер­но, так как углы, за­клю­чен­ные между про­пор­ци­о­наль­ны­ми сто­ро­на­ми, не равны.

3)  «Любые два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.»  — не­вер­но, так как нет вто­ро­го рав­но­го угла.

4)  «Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 3, BC = 4, AC = 5, яв­ля­ет­ся ту­по­уголь­ным.»  — не­вер­но, тре­уголь­ник с та­ки­ми сто­ро­на­ми яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным.

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Любые два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.»  — не­вер­но, так как нет вто­ро­го рав­но­го угла.

2)  «Если катет и ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 6 и 10, то вто­рой катет этого тре­уголь­ни­ка равен 8.»  — верно, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра квад­рат ги­по­те­ну­зы равен сумме квад­ра­тов ка­те­тов.

3)  «Сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны ко­си­ну­сам про­ти­во­ле­жа­щих углов.»  — не­вер­но, по тео­ре­ме си­ну­сов сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны си­ну­сам про­ти­во­ле­жа­щих углов.

4)  «Квад­рат любой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния этих сто­рон на ко­си­нус угла между ними.»  — верно, по тео­ре­ме ко­си­ну­сов.

Ответ: 24.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что фраза «сумма квад­ра­тов без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния» под­ра­зу­ме­ва­ет, что от суммы квад­ра­тов не­об­хо­ди­мо от­нять удво­ен­ное про­из­ве­де­ние. В ка­че­стве по­хо­же­го при­ме­ра при­ве­дем фразу «сто без трех», опи­сы­ва­ю­щую число 97.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Квад­рат любой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния этих сто­рон на синус угла между ними.»  — не­вер­но, квад­рат любой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния этих сто­рон на ко­си­нус угла между ними.

2)  «Если ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 5 и 12, то его ги­по­те­ну­за равна 13.»  — верно, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра квад­рат ги­по­те­ну­зы равен сумме квад­ра­тов ка­те­тов.

3)  «Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 5, BC = 6, AC = 7, яв­ля­ет­ся ост­ро­уголь­ным.»  — верно, ост­ро­уголь­ным на­зы­ва­ет­ся тре­уголь­ник у ко­то­ро­го все углы мень­ше 90°.

4)  «В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке квад­рат ка­те­та равен раз­но­сти квад­ра­тов ги­по­те­ну­зы и дру­го­го ка­те­та.»  — верно, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра.

Ответ: 234.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если пло­ща­ди фигур равны, то равны и сами фи­гу­ры.»  — не­вер­но, фи­гу­ры, у ко­то­рых равны пло­ща­ди на­зы­ва­ют­ся рав­но­ве­ли­ки­ми, но не рав­ны­ми.

2)  «Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию суммы ос­но­ва­ний на вы­со­ту.»  — не­вер­но, пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту.

3)  «Если две сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка равна 10.»  — не­вер­но, пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна

4)  «Если две смеж­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то пло­щадь этого па­рал­ле­ло­грам­ма равна 10.»  — верно, пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Пло­щадь мно­го­уголь­ни­ка, опи­сан­но­го около окруж­но­сти, равна про­из­ве­де­нию его пе­ри­мет­ра на ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти.»  — не­вер­но, пло­щадь мно­го­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию по­ло­ви­не пе­ри­мет­ра на ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти.

2)  «Если диа­го­на­ли ромба равна 3 и 4, то его пло­щадь равна 6.»  — верно, пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей.

3)  «Пло­щадь тра­пе­ции мень­ше про­из­ве­де­ния суммы ос­но­ва­ний на вы­со­ту.»  — верно, пло­щадь тра­пе­ции равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния суммы ос­но­ва­ний на вы­со­ту.

4)  «Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка мень­ше про­из­ве­де­ния его ка­те­тов.»  — верно, пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ка­те­тов.

Ответ: 234.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти пря­мую, па­рал­лель­ную этой пря­мой»  — верно, это ак­си­о­ма пла­ни­мет­рии.

2)  «Тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 су­ще­ству­ет»  — не­вер­но: для того, чтобы су­ще­ство­вал тре­уголь­ник, сумма любых его двух сто­рон долж­на быть боль­ше тре­тьей сто­ро­ны.

3)  «Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб  — квад­рат.»  — верно, в этом слу­чае про­ти­во­по­лож­ный угол тоже будет равен 90°, а зна­чит и два дру­гих (рав­ных) угла будут равны по 90°.

4)  «Центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти все­гда лежит внут­ри этого тре­уголь­ни­ка.»  — не­вер­но, центр опи­сан­ной во­круг пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти, лежит на его сто­ро­не.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  Через любую точку про­хо­дит бес­ко­неч­ное мно­же­ство пря­мых, сле­до­ва­тель­но, утвер­жде­ние 1 верно.

2)  Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых се­ку­щей со­от­вет­ствен­ные углы равны, то пря­мые па­рал­лель­ны - верно, это при­знак па­рал­лель­но­сти пря­мых. В утвер­жде­нии ска­за­но, что со­от­вет­ствен­ные углы равны 65°, сле­до­ва­тель­но, они равны друг другу, тогда пря­мые па­рал­лель­ны.

3)  На­крест ле­жа­щие углы двух па­рал­лель­ных пря­мых, пе­ре­се­чен­ных тре­тьей, равны. Утвер­жде­ние 3 не­вер­но: если в сумме углы со­став­ля­ют 90°, то они могут быть не равны, и тогда пря­мые не будут па­рал­лель­ны­ми.

Ответ: 12.

При­ме­ча­ние.

Не сле­ду­ет ду­мать, что утвер­жде­ние «Через точку про­хо­дит пря­мая» озна­ча­ет, что эта пря­мая дей­стви­тель­но на­ри­со­ва­на на бу­ма­ге. Утвер­жде­ние озна­ча­ет лишь, что такая пря­мая может быть про­ве­де­на.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  По при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мых, если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны. Утвер­жде­ние 1 верно, по­сколь­ку если со­от­вет­ствен­ные углы равны 37°, то они равны друг другу.

2)  Через любые три точки про­хо­дит не более одной пря­мой. Утвер­жде­ние верно, через любые три точки либо нель­зя про­ве­сти пря­мую, если они не лежат на одной пря­мой, либо можно про­ве­сти одну пря­мую, если они лежат на одной пря­мой.

3)  Вер­ти­каль­ные углы равны по по­стро­е­нию, при этом их сумма равна 180°, толь­ко если эти углы пря­мые, утвер­жде­ние 3 не­вер­но.

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)   «Пло­щадь тра­пе­ции равна по­ло­ви­не вы­со­ты, умно­жен­ной на раз­ность ос­но­ва­ний.»  — не­вер­но, пло­щадь тра­пе­ции равна по­ло­ви­не вы­со­ты, умно­жен­ной на сумму ос­но­ва­ний.

2)  «Через любые две точки можно про­ве­сти пря­мую.»  — верно, это ак­си­о­ма гео­мет­рии.

3)  «Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти един­ствен­ную пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную дан­ной пря­мой.»  — верно, это тео­ре­ма пла­ни­мет­рии.

Ответ: 23.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «В любую рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию можно впи­сать окруж­ность.»  — не­вер­но, не в любую рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию можно впи­сать окруж­ность.

2)  «Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма делит его углы по­по­лам.»  — не­вер­но, диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма делит его углы по­по­лам толь­ко в том слу­чае, когда па­рал­ле­ло­грамм яв­ля­ет­ся ром­бом.

3)  «Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его ка­те­тов.»  — верно, это тео­ре­ма пла­ни­мет­рии.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Во­круг лю­бо­го тре­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность»  — верно, по свой­ству тре­уголь­ни­ка.

2)  «Если в па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли равны и пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то этот па­рал­ле­ло­грамм  — квад­рат»  — верно; из всех па­рал­ле­ло­грам­мов толь­ко в квад­ра­те диа­го­на­ли равны и пер­пен­ди­ку­ляр­ны од­но­вре­мен­но.

3)  «Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию сред­ней линии на вы­со­ту»  — верно, по свой­ству тра­пе­ции.

Ответ: 123.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Каж­дая из бис­сек­трис рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его ме­ди­а­ной»  — не­вер­но, вер­ным будет утвер­жде­ние «Каж­дая из бис­сек­трис рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его ме­ди­а­ной».

2)  «Диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка равны»  — верно, по свой­ству пря­мо­уголь­ни­ка.

3)  «У любой тра­пе­ции бо­ко­вые сто­ро­ны равны»  — не­вер­но, т. к. бо­ко­вые сто­ро­ны равны толь­ко у рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой на­крест ле­жа­щие углы равны, то пря­мые па­рал­лель­ны»  — верно,по при­зна­ку па­рал­лель­ных пря­мых.

2)  «Диа­го­наль тра­пе­ции делит ее на два рав­ных тре­уголь­ни­ка»  — не­вер­но; вер­ным будет утвер­жде­ние: «Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма делит его на два рав­ных тре­уголь­ни­ка».

3)  «Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб  — квад­рат»  — верно, т. к. если один из углов ромба равен 90°, то и осталь­ные равны 90°.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Смеж­ные углы равны»  — не­вер­но, смеж­ные углы и свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем:

2)  «Любые две пря­мые имеют ровно одну общую точку»  — не­вер­но, пря­мые могут также быть па­рал­лель­ны, тогда точек пе­ре­се­че­ния нет, или сов­па­дать, тогда точек пе­ре­се­че­ния бес­ко­неч­но много.

3)  «Если угол равен 108°, то вер­ти­каль­ный с ним равен 108°»  — верно по свой­ству вер­ти­каль­ных углов.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если угол равен 47°, то смеж­ный с ним равен 153°»  — не­вер­но, сумма смеж­ных углов равна 180°.

2)  «Если две пря­мые пер­пен­ди­ку­ляр­ны тре­тьей пря­мой, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны»  — верно, по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мых.

3)  «Через любую точку про­хо­дит ровно одна пря­мая»  — не­вер­но через одну точку про­хо­дит бес­ко­неч­ное мно­же­ство пря­мых.

Ответ: 2.

При­ме­ча­ние.

Не сле­ду­ет ду­мать, что во­прос «какие утвер­жде­ния вер­ные?» под­ра­зу­ме­ва­ет, что в от­ве­те долж­но быть не­сколь­ко утвер­жде­ний. Так же, как за­да­ча «ре­ши­те урав­не­ние» не под­ра­зу­ме­ва­ет, что ре­ше­ние во­об­ще есть.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Любые три пря­мые имеют не более одной общей точки»  — верно. Если пря­мые имеют две и более общих точек, то они сов­па­да­ют. (См. ком­мен­та­рии к за­да­че.)

2)  «Если угол равен 120°, то смеж­ный с ним равен 120°»  — не­вер­но. Сумма смеж­ных углов равна 180°.

3)  «Если рас­сто­я­ние от точки до пря­мой боль­ше 3, то и длина любой на­клон­ной, про­ве­ден­ной из дан­ной точки к пря­мой, боль­ше 3»  — верно. Т. к. рас­сто­я­ние  — длина крат­чай­ше­го от­рез­ка до пря­мой, а все на­клон­ные  — длин­нее.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «При пе­ре­се­че­нии двух па­рал­лель­ных пря­мых тре­тьей пря­мой сумма на­крест ле­жа­щих углов равна 180°»  — не­вер­но, на­крест ле­жа­щие углы равны.

2)  «Диа­го­на­ли ромба пер­пен­ди­ку­ляр­ны»  — верно, по свой­ству ромба.

3)  «Цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его бис­сек­трис»  — не­вер­но, вер­ным будет утвер­жде­ние: «Цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров».

В ответ тре­бу­ет­ся за­пи­сать но­ме­ра не­вер­ных утвер­жде­ний, сле­до­ва­тель­но, ответ  — 13.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма равны»  — не­вер­но, если в па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли равны, то этот па­рал­ле­ло­грамм  — пря­мо­уголь­ник, т. е. не у каж­до­го па­рал­ле­ло­грам­ма диа­го­на­ли равны.

2)  «Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию его сто­ро­ны на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этой сто­ро­не»  — верно, ромб  — част­ный слу­чай па­рал­ле­ло­грам­ма, а пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна a · h.

3)  «Если две сто­ро­ны и угол од­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но двум сто­ро­нам и углу дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны»  — не­вер­но, нет та­ко­го при­зна­ка ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков. При­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков зву­чит так: «Если две сто­ро­ны и угол между ними од­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но двум сто­ро­нам и углу между ними дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны».

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Длина ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка мень­ше суммы длин его ка­те­тов»  — верно, для того, чтобы су­ще­ство­вал тре­уголь­ник, сумма любых его двух сто­рон долж­на быть боль­ше тре­тьей сто­ро­ны.

2)  «В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке все углы тупые»  — не­вер­но: в ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один тупой и два ост­рых угла.

3)  «Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ее ос­но­ва­ний»  — верно.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны»  — не­вер­но: та­ко­го при­зна­ка ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков нет.

2)  «Сред­няя линия тра­пе­ции па­рал­лель­на ее ос­но­ва­ни­ям»  — верно, по тео­ре­ме о сред­ней линии тра­пе­ции она па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям и равна их по­лу­сум­ме.

3)  «Длина ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка мень­ше суммы длин его ка­те­тов»  — верно, для того, чтобы су­ще­ство­вал тре­уголь­ник, сумма любых его двух сто­рон долж­на быть боль­ше тре­тьей сто­ро­ны.

Ответ: 23.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Точка ка­са­ния двух окруж­но­стей рав­но­уда­ле­на от цен­тров этих окруж­но­стей»  — не­вер­но: точка ка­са­ния двух окруж­но­стей уда­ле­на от цен­тра на ве­ли­чи­ну ра­ди­у­са каж­дой окруж­но­сти.

2)  «В па­рал­ле­ло­грам­ме есть два рав­ных угла»  — верно, в па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные углы равны.

3)  «Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию длин его ка­те­тов»  — не­вер­но: пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния длин его ка­те­тов.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Один из углов тре­уголь­ни­ка все­гда не пре­вы­ша­ет 60 гра­ду­сов»  — верно, сумма всех углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, зна­чит, мень­ший угол в тре­уголь­ни­ке не более 60°. Сле­до­ва­тель­но, в любом тре­уголь­ни­ке есть угол, не пре­вы­ша­ю­щий 60 гра­ду­сов, а зна­чит, один из углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка не пре­вы­ша­ет 60 гра­ду­сов.

2)  «Диа­го­на­ли тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся и де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам»  — не­вер­но.

3)  «Все диа­мет­ры окруж­но­сти равны между собой»  — верно.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 не су­ще­ству­ет»  — верно, сто­ро­на тре­уголь­ни­ка не может быть боль­ше суммы двух дру­гих.

2)  «Сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 360 гра­ду­сам»  — не­вер­но, сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сам.

3)  «Се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры к сто­ро­нам тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в цен­тре его опи­сан­ной окруж­но­сти»  — верно, центр опи­сан­ной окруж­но­сти лежит в точке пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. 1)  «Тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 не су­ще­ству­ет»  — верно, боль­шая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка долж­на быть мень­ше суммы двух дру­гих.

2)  «Смеж­ные углы равны»  — не­вер­но, смеж­ные углы и свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем:

3)  «Все диа­мет­ры окруж­но­сти равны между собой»  — верно.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. 1)  «Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную этой пря­мой»  — верно, это ак­си­о­ма пла­ни­мет­рии.

2)  «Если сто­ро­ны од­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны сто­ро­нам дру­го­го че­ты­рех­уголь­ни­ка, то такие че­ты­рех­уголь­ни­ки равны»  — не­вер­но: на­при­мер, могут быть квад­рат и ромб с рав­ной дли­ной сто­ро­ны.

3)  «Смеж­ные углы равны»  — не­вер­но, смеж­ные углы и свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем:

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1)  «Все углы ромба равны»  — не­вер­но. Верно толь­ко в слу­чае квад­ра­та.

2)  «Если сто­ро­ны од­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны сто­ро­нам дру­го­го че­ты­рех­уголь­ни­ка, то такие че­ты­рех­уголь­ни­ки равны»  — не­вер­но. Сто­ро­ны квад­ра­та и ромба могут быть равны, од­на­ко такие че­ты­рех­уголь­ни­ки не равны.

3)  «Через любую точку, ле­жа­щую вне окруж­но­сти, можно про­ве­сти две ка­са­тель­ные к этой окруж­но­сти»  — верно.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. 1)  «Если в тре­уголь­ни­ке ABC длина сто­ро­ны AB боль­ше длины сто­ро­ны BC, то ве­ли­чи­на угла A мень­ше ве­ли­чи­ны угла C»  — верно, если в тре­уголь­ни­ке ABC сто­ро­на AB боль­ше сто­ро­ны BC, то ве­ли­чи­на угла A мень­ше ве­ли­чи­ны угла C.

2)  «Точка, ле­жа­щая на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к от­рез­ку, рав­но­уда­ле­на от кон­цов этого от­рез­ка и его се­ре­ди­ны»  — не­вер­но, точка, ле­жа­щая на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к от­рез­ку, рав­но­уда­ле­на от кон­цов от­рез­ка, но не от его се­ре­ди­ны.

3)  «Сред­няя линия рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния её диа­го­на­лей»  — не­вер­но, сред­няя линия тра­пе­ции не про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей.

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. 1)  Если две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны  — не­вер­но.

2)  Сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам  — верно.

3)  Любые два рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ка по­доб­ны  — верно.

Ответ: 23.

Ре­ше­ние. 1)   Точка пе­ре­се­че­ния двух окруж­но­стей рав­но­уда­ле­на от цен­тров этих окруж­но­стей  — не­вер­но.

2)   В па­рал­ле­ло­грам­ме есть два рав­ных угла  — верно.

3)   Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию длин его ка­те­тов  — не­вер­но.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. 1)  «Ко­си­нус остро­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен от­но­ше­нию ги­по­те­ну­зы к при­ле­жа­ще­му к этому углу ка­те­ту»  — не­вер­но.

2)  «Диа­го­на­ли ромба пер­пен­ди­ку­ляр­ны»  — верно.

3)  «Су­ще­ству­ют три пря­мые, ко­то­рые про­хо­дят через одну точку»  — верно.

Ответ: 23.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если в па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли равны и пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то этот па­рал­ле­ло­грамм  — квад­рат.»  — верно, если в па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли равны и пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то этот па­рал­ле­ло­грамм  — квад­рат.

2)  «Смеж­ные углы равны.»  — не­вер­но, сумма смеж­ных углов равна 180°.

3)  «Каж­дая из бис­сек­трис рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его вы­со­той.»  — не­вер­но, толь­ко одна бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его вы­со­той.

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1)  «Все углы ромба равны»  — не­вер­но.

2)  «Пло­щадь квад­ра­та равна про­из­ве­де­нию двух его смеж­ных сто­рон»  — верно, со­глас­но фор­му­ле

3)  «Любые два рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ка по­доб­ны»  — верно, со­глас­но при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

Ответ: 23

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  Все углы ромба равны  — не­вер­но, по­сколь­ку все углы ромба равны толь­ко в част­ном слу­чае ромба  — квад­ра­те.

2)  Любой пря­мо­уголь­ник можно впи­сать в окруж­ность  — верно, по­сколь­ку че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать в окруж­ность, когда суммы про­ти­во­по­лож­ных углов равны.

3)  Диа­го­наль тра­пе­ции делит ее на два рав­ных тре­уголь­ни­ка  — не­вер­но, диа­го­наль не делит тра­пе­цию на два рав­ных тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. 1)  Сред­няя линия тра­пе­ции равна сумме ее ос­но­ва­ний.  — не­вер­но, Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ее ос­но­ва­ний.

2)  Диа­го­на­ли ромба пер­пен­ди­ку­ляр­ны.  — верно, по свой­ству ромба.

3)  Пло­щадь тре­уголь­ни­ка мень­ше про­из­ве­де­ния двух его сто­рон.  — верно, так как пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна где  — угол между сто­ро­на­ми a и b тре­уголь­ни­ка. Синус угла все­гда мень­ше еди­ни­цы, по­это­му пло­щадь тре­уголь­ни­ка мень­ше про­из­ве­де­ния двух его сто­рон.

Ответ: 23.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Диа­го­на­ли ромба точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам  — верно.

2.  Угол, впи­сан­ный в окруж­ность, равен со­от­вет­ству­ю­ще­му цен­траль­но­му углу, опи­ра­ю­ще­му­ся на ту же дугу  — не­вер­но, т. к. угол, впи­сан­ный в окруж­ность, равен по­ло­ви­не со­от­вет­ству­ю­ще­го цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу.

3.  Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся, если ра­ди­ус одной окруж­но­сти боль­ше ра­ди­у­са дру­гой окруж­но­сти  — не­вер­но, две окруж­но­сти могут пе­ре­се­кать­ся, если их ра­ди­у­сы равны.

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию длин его ка­те­тов  — не­вер­но, пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния длин его ка­те­тов.

2.  Су­ще­ству­ет пря­мо­уголь­ник, диа­го­на­ли ко­то­ро­го вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны  — верно.

3.  Если сто­ро­ны од­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны сто­ро­нам дру­го­го че­ты­рех­уголь­ни­ка, то такие че­ты­рех­уголь­ни­ки равны  — не­вер­но, т. к. нет та­ко­го при­зна­ка ра­вен­ства че­ты­рех­уголь­ни­ков.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1)  «В па­рал­ле­ло­грам­ме есть два рав­ных угла»  — верно, в па­рал­ле­ло­грам­ме есть 2 пары рав­ных углов.

2)  «В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке все углы тупые»  — не­вер­но, в ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из углов тупой.

3)  «Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию длин всех его сто­рон»  — не­вер­но, пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию длин двух его смеж­ных сто­рон.

Ответ: 1

Ре­ше­ние. 1)  Тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 не су­ще­ству­ет.  — верно, сто­ро­на тре­уголь­ни­ка не может быть боль­ше суммы двух дру­гих.

2)  Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию ос­но­ва­ния тра­пе­ции на вы­со­ту.  — не­вер­но, так как пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту.

3)  Все диа­мет­ры окруж­но­сти равны между собой.  — верно, все диа­мет­ры окруж­но­сти равны между собой.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое утвер­жде­ние:

1)  «Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию двух его смеж­ных сто­рон на синус угла между ними»  — верно.

2)  «В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке все углы тупые»  — не­вер­но.

3)  «Су­ще­ству­ют три пря­мые, ко­то­рые про­хо­дят через одну точку»  — верно.

Ответ: 13

Ре­ше­ние. 1)  Все хорды одной окруж­но­сти равны между собой.  — не­вер­но, так как длина хорды за­ви­сит от ее уда­лен­но­сти от цен­тра окруж­но­сти.

2)  Тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 не су­ще­ству­ет.  — верно, сто­ро­на тре­уголь­ни­ка не может быть боль­ше суммы двух дру­гих.

3)  Все углы пря­мо­уголь­ни­ка равны.  — верно, все углы пря­мо­уголь­ни­ка равны 90°.

Ответ: 23.

Ре­ше­ние. 1.  Утвер­жде­ние верно.

2.  Утвер­жде­ние не­вер­но. Для того, чтобы утвер­ждать, пе­ре­се­ка­ют­ся окруж­но­сти или нет, нужно знать вза­им­ное по­ло­же­ние их цен­тров.

3.  Утвер­жде­ние не­вер­но, диа­го­на­ли тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся, но не де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам. Такое свой­ство есть у па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Длина ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка мень­ше суммы длин его ка­те­тов»  — верно, для того, чтобы су­ще­ство­вал тре­уголь­ник, сумма любых его двух сто­рон долж­на быть боль­ше тре­тьей сто­ро­ны.

2)  «В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке все углы тупые»  — не­вер­но: в ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один тупой и два ост­рых угла.

3)  «Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ее ос­но­ва­ний»  — верно.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Все вы­со­ты рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равны»  — верно, так как в рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке все вы­со­ты равны между собой.

2)  «Угол, впи­сан­ный в окруж­ность, равен со­от­вет­ству­ю­ще­му цен­траль­но­му углу, опи­ра­ю­ще­му­ся на ту же дугу»  — не­вер­но, так как угол, впи­сан­ный в окруж­ность, равен по­ло­ви­не со­от­вет­ству­ю­ще­го цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу.

3)  «В любой ромб можно впи­сать окруж­ность»  — верно, так как суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон ромба равны.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Все хорды одной окруж­но­сти равны между собой - не­вер­но, так как длина хорды за­ви­сит от ее уда­лен­но­сти от цен­тра окруж­но­сти.

2.  Диа­го­наль рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции делит ее на два рав­ных тре­уголь­ни­ка - не­вер­но, тре­уголь­ни­ки не равны

3.  Сумма углов рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сам - верно, сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сам

Ответ: 3

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1.  Утвер­жде­ние верно, вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать в окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда сумма про­ти­во­по­лож­ных углов этого че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 180°.

2.  Утвер­жде­ние не­вер­но, про­ти­во­по­лож­ные углы ромба равны.

3.  Утвер­жде­ние не­вер­но, для того, чтобы су­ще­ство­вал тре­уголь­ник, сумма любых его двух сто­рон долж­на быть боль­ше тре­тьей сто­ро­ны.

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. 1)  Две раз­лич­ные пря­мые, пер­пен­ди­ку­ляр­ные тре­тьей пря­мой, па­рал­лель­ны  — верно.

2)  Если диа­го­на­ли вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равны и пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то этот че­ты­рех­уголь­ник яв­ля­ет­ся квад­ра­том  — не­вер­но, если точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей не яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной каж­дой из них, то че­ты­рех­уголь­ник не будет яв­лять­ся квад­ра­том.

3)  Все углы ромба равны  — не­вер­но.

В от­ве­те за­пи­ши­те номер вы­бран­но­го утвер­жде­ния.

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Две пря­мые, пер­пен­ди­ку­ляр­ные тре­тьей пря­мой, пер­пен­ди­ку­ляр­ны  — не­вер­но, они па­рал­лель­ны.

2.  Вся­кий рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся ост­ро­уголь­ным  — верно, в рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке углы по 60 гра­ду­сов, сле­до­ва­тель­но, он ост­ро­уголь­ный.

3.  Любой квад­рат яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком  — верно, т. к. квад­рат удо­вле­тво­ря­ет всем при­зна­кам пря­мо­уголь­ни­ка.

Ответ: 23.

Ре­ше­ние. 1)  «Диа­го­на­ли ромба равны.»  — не­вер­но, диа­го­на­ли ромба не равны

2)  «От­но­ше­ние пло­ща­дей по­доб­ных тре­уголь­ни­ков равно ко­эф­фи­ци­ен­ту по­до­бия.»  — не­вер­но, от­но­ше­ние пло­ща­дей равно квад­ра­ту ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия.

3)  «В тре­уголь­ни­ке про­тив бо́льше­го угла лежит бо́льшая сто­ро­на»  — верно.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. 1)  Через за­дан­ную точку плос­ко­сти можно про­ве­сти толь­ко одну пря­мую.  — не­вер­но, через за­дан­ную точку плос­ко­сти можно про­ве­сти бес­ко­неч­но много пря­мых.

2)  Се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры к сто­ро­нам тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в точке, яв­ля­ю­щей­ся цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка.  — верно по свой­ству се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров к сто­ро­нам тре­уголь­ни­ка.

3)  Если в па­рал­ле­ло­грам­ме две со­сед­ние сто­ро­ны равны, то этот па­рал­ле­ло­грамм яв­ля­ет­ся ром­бом.  — верно, по­сколь­ку ромб  — это па­рал­ле­ло­грамм, у ко­то­ро­го всех сто­ро­ны равны.

Ответ: 23.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 не су­ще­ству­ет - верно, так как по свой­ству тре­уголь­ни­ка длина одной из сто­рон тре­уголь­ни­ка не долж­на пре­вы­шать суммы двух дру­гих сто­рон тре­уголь­ни­ка

2.  Ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка делит по­по­лам угол, из вер­ши­ны ко­то­ро­го про­ве­де­на - не­вер­но, ме­ди­а­на делит по­по­лам сто­ро­ну, к ко­то­рой она про­ве­де­на.

3.  Все диа­мет­ры окруж­но­сти равны между собой - верно, так как у окруж­но­сти за­дан­ное зна­че­ние диа­мет­ра.

Ответ: 13

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти все­гда лежит внут­ри этого тре­уголь­ни­ка - не­вер­но

2.  Сумма углов рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сам - верно для лю­бо­го тре­уголь­ни­ка.

3.  Диа­го­на­ли ромба равны - не­вер­но, диа­го­на­ли у ромба равны толь­ко в част­ном слу­чае ромба - квад­ра­те.

Ответ: 2

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны»  — не­вер­но: та­ко­го при­зна­ка ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков нет.

2)  «Сред­няя линия тра­пе­ции па­рал­лель­на ее ос­но­ва­ни­ям»  — верно, по тео­ре­ме о сред­ней линии тра­пе­ции она па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям и равна их по­лу­сум­ме.

3)  «Длина ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка мень­ше суммы длин его ка­те­тов»  — верно, для того, чтобы су­ще­ство­вал тре­уголь­ник, сумма любых его двух сто­рон долж­на быть боль­ше тре­тьей сто­ро­ны.

Ответ: 23.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Если диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма равны, то этот па­рал­ле­ло­грамм яв­ля­ет­ся ром­бом - не­вер­но, так как в общем слу­чае диа­го­на­ли у ромба не равны.

2.  Тан­генс лю­бо­го остро­го угла мень­ше еди­ни­цы - не­вер­но, тан­генс может быть боль­ше еди­ни­цы.

3.  Сумма углов рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сам - верно, сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сов.

Ответ: 3

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Длина ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка мень­ше суммы длин его ка­те­тов - верно по свой­ству тре­уголь­ни­ков.

2.  Любой пря­мо­уголь­ник можно впи­сать в окруж­ность - верно, вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать в окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда сумма про­ти­во­по­лож­ных углов этого че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 180°, а в любом пря­мо­уголь­ни­ке сумма про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°.

3.  Через за­дан­ную точку плос­ко­сти можно про­ве­сти толь­ко одну пря­мую - не­вер­но, можно про­ве­сти бес­ко­неч­ное ко­ли­че­ство пря­мых.

Ответ: 12

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1)  «Все углы ромба равны»  — не­вер­но. Верно толь­ко в слу­чае квад­ра­та.

2)  «Если сто­ро­ны од­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны сто­ро­нам дру­го­го че­ты­рех­уголь­ни­ка, то такие че­ты­рех­уголь­ни­ки равны»  — не­вер­но. Сто­ро­ны квад­ра­та и ромба могут быть равны, од­на­ко такие че­ты­рех­уголь­ни­ки не равны.

3)  «Через любую точку, ле­жа­щую вне окруж­но­сти, можно про­ве­сти две ка­са­тель­ные к этой окруж­но­сти»  — верно.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний:

1.  Тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 су­ще­ству­ет - не­вер­но, так как по свой­ству тре­уголь­ни­ка ни одна из сто­рон не долж­на быть боль­ше суммы двух дру­гих сто­рон, в дан­ном же слу­чае

2.  Диа­го­на­ли ромба точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам - верно.

3.  Две пря­мые, пер­пен­ди­ку­ляр­ные тре­тьей пря­мой, пер­пен­ди­ку­ляр­ны - не­вер­но, две пря­мые, пер­пен­ди­ку­ляр­ные тре­тьей пря­мой, па­рал­лель­ны.

Ответ: 2

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Утвер­жде­ние не­вер­но, так как сумма смеж­ных углов равна 180°, сле­до­ва­тель­но, если один из углов пря­мой, то смеж­ный ему будет тоже пря­мой.

2.  Утвер­жде­ние верно, со­глас­но фор­му­ле пло­ща­ди квад­ра­та:

3.  Утвер­жде­ние не­вер­но, так как длина хорды за­ви­сит от ее уда­лен­но­сти от цен­тра окруж­но­сти.

Ответ: 2